Las matemáticas griegas

Se dice que las matemáticas griegas, el estudio de los números y sus propiedades; sus leyes, estructuras, espacios, cambios aparentes y medidas, se originaron con Tales de Mileto, quien vivió cerca del 585 a.C. Sin embargo, durante los tiempos de las civilizaciones minoica (2000-1450 a.C.) y micénica (en torno a 1700-1100 a.C.) ya existía una clara comprensión de esta ciencia, la cual derivó de los sistemas de Mesopotamia y Egipto, concebidos en épocas más antiguas.

No obstante, la académica Rosalie David subraya que esos sistemas tenían un propósito práctico:

En Egipto las matemáticas estaban dirigidas en lo fundamental a propósitos utilitarios; no parece que se consideraran como una ciencia teórica. (217)

Gwendolyn Leick, investigadora, expresa el mismo criterio en relación a las matemáticas mesopotámicas:

Desde los inicios del Período Dinástico Arcaico las matemáticas constituían una parte integral de la formación de los escribas, y se incluían en las tablillas empleadas para ejercitación; todo demuestra que la geometría resultaba esencial para realizar las tareas de dividir los lotes de tierra dedicados a la agricultura, así como las asociadas a la irrigación. (116)

Tales y el otro gran matemático de los primeros tiempos, Pitágoras (en torno a 571 a en torno a 497 a.C.), conocido por el teorema homónimo, consideraban las matemáticas como un medio para aprehender la verdad y comprender la realidad, lo cual le asignaba un estatus superior al de una simple herramienta práctica. Ninguno de los escritos de Tales ha sobrevivido, pero debido a que introdujo la geometría, y según parece, a causa de la manera en que la aplicaba, se le califica de primero entre los matemáticos griegos. Pitágoras, posible alumno suyo, hizo de las matemáticas un pilar de su filosofía, que entre otras cosas defendía la reencarnación: mantenía la creencia de que el alma, como los números, era eterna, y que tras la muerte retornaba una y otra vez bajo otras formas.

Entre los discípulos de Pitágoras se encontraba Hipaso de Metaponto, (en torno a 530 a alrededor de 450 a.C.), a quien se le acredita el descubrimiento de los números irracionales, concepto que más tarde desarrolló Teodoro de Cirene (siglo V a.C.). Otro pitagórico, Filolao de Crotona (en torno a 470 a en torno a 385 a.C.) describió el modelo pirocéntrico del universo y fue maestro del gran matemático Arquitas de Tarento (siglo V a.C.). Arquitas, por su parte, fue preceptor de Eudoxio de Cnido (en torno a 408 a en torno a 355 a.C.), también un brillante matemático y astrónomo.

Todos estos matemáticos ejercieron influencia en las obras de Platón (424/423-348/347 a.C.) y de Aristóteles (384-322 a.C.), cuyas filosofías se apoyaban en las matemáticas, y en particular en la geometría. Euclides (en torno a 300 a.C.) sentó las bases de la geometría en su famosa obra Elementos, por lo que se le otorga el título de «Padre de la Geometría». Arquímedes de Siracusa (287-212 a.C.) es el más conocido de los ingenieros e inventores griegos, y entre otros notables se encuentran Eratóstenes (en torno a 276-195 a.C.), Apolonio de Perga (en torno a 240 a en torno a 190 a.C.), Aristarco de Samos (en torno a 310 a en torno a 230 a.C.), Hiparco de Nicea (en torno a 190 a en torno a 120 a.C.), Menelao de Alejandría (en torno a 100 d.C.), y Claudio Ptolomeo (100-170 d.C.). Estos pensadores establecieron los principios que más adelante ampliarían, desarrollarían y preservarían los matemáticos que les sucedieron, lo cual impulsó el progreso de esa disciplina hasta los inicios de la época moderna.

Reclamación de una herencia robada

Durante la época del Período Dinástico Arcaico (2900-2334 a.C.) los sumerios de Mesopotamia ya habían desarrollado unas matemáticas sofisticadas, con notación sexagesimal base 60. Esto les posibilitó crear el concepto que hoy denominamos «tiempo», que basado en el número 60, define la división de un minuto en 60 segundos y de una hora en 60 minutos. El estudio del sistema sumerio confirma que comprendían la suma, la resta, la multiplicación, la división, el álgebra, la geometría, los números recíprocos, la potenciación al cuadrado, y las ecuaciones cuadráticas. Los egipcios, más prácticos y conservadores, trabajaron la adición, la sustracción, la multiplicación y la división, más algunos elementos de cálculo y quizá el algebra.

Como se ha apuntado, en Egipto y Mesopotamia se emplearon las matemáticas con propósitos prácticos. Rosalie David amplía:

Puede asegurarse que los egipcios poseían un sistema organizado de conocimientos matemáticos, pero para resolver problemas empleaban la experiencia práctica en vez de habilidades de razonamiento. Aunque partieron de conceptos elementales, pronto desarrollaron métodos que les permitían lidiar con cálculos aritméticos y geométricos complejos, y utilizaban las fracciones. (218)

Por lo tanto, resulta incorrecto afirmar que los griegos inventaron las matemáticas, y aunque tal aseveración se ha promovido durante siglos, sería más preciso decir que en lo que respecta al desarrollo de conceptos matemáticos, llegaron más lejos que otras civilizaciones que les precedieron. Aunque las matemáticas sumerias habían evolucionado hasta alcanzar un elevado nivel, no se encontraban siquiera próximas al refinamiento que las matemáticas griegas exhibían a partir del siglo VI a.C. Por ejemplo, los babilonios conocían el teorema de Pitágoras desde mucho antes de que naciera el célebre matemático, pero la definición hecha por él no solo preservó el concepto, sino que al parecer también lo refinó.

Más aún; aseverar que las matemáticas y la filosofía griegas fueron producto de alguna especie de «robo» de las civilizaciones precedentes, es inexacto y constituye una exagerada simplificación de los hechos históricos. Los jeroglíficos egipcios y la escritura cuneiforme mesopotámica no se descifraron sino hasta mediados o finales del siglo XIX, y para entonces los académicos europeos ya habían creado un importante cuerpo de obras históricas a partir de los conocimientos adquiridos de fuentes griegas y latinas, las únicas accesibles hasta entonces. Las «decoraciones» observadas en los antiguos templos egipcios y mesopotámicos, en sus tumbas y en las inscripciones, no se reconocían como sistemas de escritura, ni existía la forma de reconocerlas como tales, puesto que hacia 1820, aún no se habían descifrado.

Muchas de las conclusiones sobre la historia de la Antigüedad a las que arribaron los primeros académicos modernos y de la actualidad necesitan ser revisadas, y sin duda hubo motivaciones raciales que intervinieron en la interpretación de los datos, pero en términos generales no hubo intención de marginar las civilizaciones más antiguas para favorecer a los griegos; el problema era muy sencillo: las historias de Mesopotamia y Egipto no se conocían. Si una persona está convencida de poseer cierta cantidad de metros cuadrados de tierra a partir del levantamiento planimétrico que ha hecho, y más adelante el vecino le informa que le pertenecen, no se puede responsabilizar a la persona de haber robado las tierras, sino de no disponer de la información correcta. Solo si dicho individuo no respeta y no responde a la nueva información, puede afirmarse que se encuentra en falta.

Por lo tanto, se afirma que las matemáticas griegas datan del siglo VI a.C., y se reconoce el hecho de que se fundamentaron en sistemas anteriores. Durante la Edad Oscura de los griegos se perdieron los sistemas minoico y micénico, ninguno de los cuales se ha logrado reconstruir. En consecuencia, se entiende que Tales de Mileto fue el primero en introducir las matemáticas teóricas en Grecia, aunque con anterioridad a su época, la disciplina ya existía en otras regiones.

Los filósofos presocráticos y los pitagóricos

Tales es el primero de los denominados «filósofos presocráticos», término que se aplica a los pensadores que vivían en Grecia en tiempos anteriores al ateniense Sócrates (470/469-399 a.C.), y por lo tanto se conoce como el primer filósofo de la antigua Grecia. Según relatan las obras de escritores posteriores a Tales, el sabio inició sus trabajos matemáticos bajo el mismo paradigma egipcio y babilonio de utilizarlas con fines prácticos. Se dice, por ejemplo, que midió la altura de las pirámides de Guiza mediante el cálculo de la diferencia entre sus respectivas sombras y la suya propia, además de que como ingeniero empleado por el rey Croeso (que reinó de 560-547 a.C.) aplicó principios matemáticos a un problema de logística y desvió el curso del río Halis para que su ejército lo cruzara.

Sin embargo con el decurso del tiempo, a medida que proponía axiomas, demostraciones, y definiciones del concepto de número, su matemática se hizo más teórica. Introdujo más abstracciones en el desarrollo de la geometría, y en el planteamiento y uso del teorema que lleva su nombre, el cual permite hallar el centro de un círculo; además, aplicó el cálculo a la astronomía, con lo cual logró predecir con exactitud el eclipse solar del 28 de mayo del 585 a.C.

Por su parte Pitágoras, otro de los filósofos presocráticos, avanzó aún más en el estudio formal de las matemáticas. Con posterioridad Próculo, el escritor, subraya que «Pitágoras convirtió la filosofía geométrica en expresión de la educación liberal, al buscar sus principios en un reino más elevado de la realidad» (Baird, 16). Para Pitágoras las matemáticas no solo constituían un medio para alcanzar un fin, sino también un fin en sí mismas. Los presocráticos iniciales se interesaban en encontrar la Causa primordial de la existencia, entre las que proponían el agua, el aire, el fuego u otros elementos sobrenaturales, pero Pitágoras afirmaba que las matemáticas explicaban los mundos visible e invisible, debido a que los números, como la creación, no tienen principio ni fin.

Para Pitágoras el concepto de número constituía la Causa primordial, porque podía demostrarse que lo cuantioso puede provenir de lo singular; la pluralidad que se observaba en el mundo podía proceder, y procedía, de una fuente única. La definición pitagórica de «número» tomaba como base el punto que se encuentra en el centro del círculo, la mónada, que representaba el concepto del Uno, de la unidad. De la mónada se desprendía la díada, dos círculos que compartían un centro común; luego, al trazar una línea horizontal que los intersecara, se formaba un triángulo equilátero que convertía la díada en tríada, y así de manera sucesiva hasta la década. Del Uno, por lo tanto, provenía lo mucho y aunque podía parecer que los números eran una secuencia limitada que fluye entre el uno y el diez, en realidad existían combinaciones ilimitadas de esos ordenamientos, que corrían del 11 al 20, luego del 21 al 30 y así, a perpetuidad.

Pitágoras extendió la naturaleza eterna de los guarismos al alma humana, pues argumentaba que el espíritu de la persona, como un número, retornaba una y otra vez con distintas formas después de la muerte del cuerpo, del mismo modo que se repiten las series numéricas. En ocasiones aparecía como ser humano, a veces como perro, o como mulo, o como mosca. En concordancia con su pensamiento, Pitágoras favorecía el vegetarianismo, puesto que no había forma de conocer si el animal que se sacrificaba era un tío o un padre fallecido que ocupaba el cuerpo de un polluelo.

Filolao de Crotona, alumno de Pitágoras, rechazó la existencia de una Causa primordial por considerarla un absurdo. Enfocó sus energías en la aplicación de las matemáticas al examen del cosmos, para más adelante llegar a la conclusión que la Tierra y todos los planetas, incluido el sol, giraban alrededor de un fuego central sin límites, lo cual contradecía el modelo hasta entonces aceptado que la Tierra era el centro del universo. Rechazó las creencias de la escuela de Tales de Mileto y de sus seguidores Anaximandro y Anaxímenes, en favor de un uso más práctico de la filosofía para explicar el funcionamiento del mundo observable, en vez de insistir en la importancia de la Causa primordial. El académico Robin Waterfield comenta:

[Para Filolao] los dioses, o quizá un hombre en posesión de conocimientos divinos, eran los únicos que tenían acceso a la verdadera esencia de las cosas; y no se podía conocer el infinito a partir de la naturaleza de las mismas. Aquí Filolao, al menos en parte, critica a los partidarios de Mileto y a otros intentos similares de encontrar una realidad última que respalde a las cosas de este mundo. Sugiere que esto es imposible y que en lugar de ello, lo mejor que se puede hacer es tratar de explicar las precondiciones necesarias para que exista el mundo al que nos enfrentamos. (93)

Arquitas adoptó el enfoque de Filolao y también aplicó las matemáticas a tratar de comprender la forma y el funcionamiento del mundo. De hecho, se dice que Platón admiraba mucho a Arquitas a causa de su habilidad para combinar el idealismo filosófico con las aplicaciones prácticas. Arquitas no solo fue general de Tarento, elegido durante siete años seguidos, sino que además se lo consideraba invencible. También se conoce y ganó fama por haber aplicado las matemáticas a la mecánica, y por hallar la solución al problema geométrico conocido como «la duplicación del cubo»; durante su vida alcanzó renombre por las contribuciones que hizo a la astronomía y a la teoría de la música.

Platón y Aristóteles

Aunque por lo general no se incluye a Platón en las listas de los matemáticos griegos, la estructura subyacente de su filosofía respondía a dicha ciencia, y en específico a la geometría pura. Platón insistía en la existencia de verdades universales eternas que le otorgaban sustancia a lo que en la tierra se conocía como «verdad», y rechazaba el relativismo que defendían los sofistas como Protágoras de Abdera (en torno a 485-415 a.C.), debido a que aseveraban que era el individuo quien definía la verdad: que «el hombre es la medida de todas las cosas». Para Platón algo no era «verdad» porque se creyera que lo era; algo era «verdad» en tanto que fuera parte de la Forma de la Verdad existente en un reino superior. Platón pensaba que la geometría establecía estas verdades más elevadas, que calmaba las pasiones, aclaraba la mente y liberaba a la persona de la «mentira en la verdad», o la «mentira en el alma», causante de que las personas tuvieran una apreciación errónea de los aspectos más importantes de la vida.

Por otra parte Aristóteles, el alumno más famoso de Platón, resulta muy conocido por sus contribuciones a las matemáticas griegas. El estudioso Thomas R. Martin acota:

Aristóteles no concebía las ciencias y la filosofía como materias abstractas, aisladas de los problemas comunes de la existencia, sino como la búsqueda disciplinada del conocimiento acerca de todos los aspectos de la vida. Esa búsqueda resumía el único tipo de actividad racional humana que podía conducir a una vida de bondad y de felicidad genuina. (185)

Para Aristóteles el propósito de la vida era la felicidad, y las matemáticas estimulaban a la persona a identificar el camino para lograr ese objetivo. Tanto en su Metafísica, donde explica las matemáticas de la simetría y la forma en que ésta refleja la belleza, como en su Ética de Nicómaco, en que propugna lograr el equilibrio a través de la Media de Oro, las matemáticas se encuentran en la base del pensamiento aristotélico, al igual que lo hacían en el de Platón. Sin embargo, Aristóteles le dedicó mucho más tiempo a las matemáticas prácticas que su maestro, al igual que ocurriría con los matemáticos que vivieron después de él.

Euclides, Arquímedes, Eratóstenes y otros

La obra Elementos, escrita por Euclides, se ubica con facilidad entre las de mayor éxito editorial en la historia del mundo, antes que la Biblia alcanzara esa condición. En 13 volúmenes Elementos codificó, explicó y amplió los conceptos matemáticos de Pitágoras, el paralelismo, la proporción dorada, el teorema de Tales, los números primos, el estudio de los conos, las pirámides, la óptica, y las esferas, así como la definición de lo que se conocería como geometría euclidiana. Su obra alcanzó tal influencia y popularidad que Ptolomeo I Soter (que reinó de 323-282 a.C.) de Egipto, invitó a Euclides a su corte con el objetivo de que discutiera los Elementos. El académico Lionel Casson comenta:

[Ptolomeo I] debe haber sido al menos un entusiasta de las matemáticas, pues fue él quien al preguntarle a Euclides si existía una forma más rápida de aprender geometría que no fuera a través de los Elementos, obtuvo la famosa respuesta que «No existe un camino real». (32)

Ptolomeo I fundó la Biblioteca de Alejandría, la cual construida durante el reino de Ptolomeo II Filadelfo (282-246 a.C.), se convertiría en faro de las mentes más privilegiadas de la época. Entre estas mentes se encontraba la de Arquímedes de Siracusa, el más grande de los matemáticos griegos, reconocido en la actualidad como el más importante de la Antigüedad. A Arquímedes se le califica como «Padre de las Matemáticas» por las contribuciones que hizo a dicha disciplina, entre las cuales se encontraban el equilibrio de los planos, la medición de círculos, teoremas sobre mecánica, medición de esferas y cilindros, el estudio de la parábola y de la elipse, el área de una espiral, así como el concepto de flotabilidad de los cuerpos; además se le acredita la invención de la polea, del tornillo que lleva su nombre, y de la palanca, todos basados en principios matemáticos. Se dice que falleció mientras se ocupaba de hallar la solución a una ecuación matemática, razón por la cual ignoró la orden del soldado romano que lo mató.

Eratóstenes, un erudito, fue uno de los bibliotecarios que dirigió la Biblioteca de Alejandría, el primero en calcular la circunferencia de la Tierra, y en escribir una amplia geografía del mundo conocido en su época. Se le otorga el crédito, incluso, de haber acuñado el término «geografía». Sus cálculos de astronomía serían utilizados más adelante por Hiparco de Nicea, a quien se considera el más distinguido de los matemáticos de su tiempo. Aristarco de Samos utilizó los adelantos matemáticos de su predecesor para concebir el modelo heliocéntrico del universo, el cual Hiparco rechazó porque contradecía la tesis entonces aceptada propuesta por Aristóteles, quien, junto a otros, se consideraba autoridad en la materia. Claudio Ptolomeo, en su Almagesto, analizó los datos astronómicos del pasado y aportó sus propias observaciones, dando origen a una obra que ejercería influencia sobre Nicolás Copérnico (1473-1543) e inspiraría la Revolución Científica de los inicios de la Edad Moderna.

Conclusión

Mesopotamia, el antiguo Egipto, la civilización del valle del Indo y la antigua China desarrollaron muchos principios matemáticos antes de la época de Tales de Mileto. La expresión «historia antigua» no resulta tan antigua cuando se aplica a las predicciones de Tales sobre el eclipse de 585 a.C., si se tiene en cuenta que los astrónomos de otras civilizaciones realizaban idénticos cálculos desde más de 2000 años antes de que viviera el sabio griego. Hipócrates, a quien se reconoce como «Padre de la medicina» fue más bien uno de los últimos en arribar a ese campo; Sushruta (en torno a siglo VII/VI a.C.), de la antigua India, practicaba la cirugía y escribía tratados médicos siglos antes de que Hipócrates hubiera siquiera nacido.

A pesar de todo, nada de lo anterior resta importancia a las contribuciones de los matemáticos griegos. Según hace notar el académico Thomas Cahill:

Es importante… recordar que la pregunta subyacente que se hacían [los filósofos y matemáticos griegos], de "¿cuál es la naturaleza de la realidad?", constituye hasta el presente una pregunta fundamental que cada quien debe intentar responder a lo largo de su vida. Al recordar esta cuestión, y reconocer cuán pequeño ha sido el progreso realizado para proporcionar una respuesta satisfactoria, aumenta la simpatía hacia ellos y hacia la firmeza de propósito con la que se dedicaron a la imponente tarea a la que se enfrentaban. A causa de que no disponían de guías en las que apoyarse, metieron sus narices en todo con la esperanza de descubrir una respuesta adecuada; en el proceso ayudaron a inventar las disciplinas de filosofía, teología, las ciencias físicas, la medicina, la sicología, las ciencias políticas y la ética. (151)

Ninguno de los anteriores campos de estudio fue inventado por los griegos, pero el desarrollo que imprimieron a los conceptos de cada una de estas disciplinas estableció las bases para que otros pudieran continuar erigiendo el progreso de la civilización occidental. El lujo de utilizar un teléfono inteligente, o realizar una búsqueda en una computadora personal para obtener una receta para la cena, y mucho más, debe agradecérsele a los matemáticos griegos.