Euclides de Alexandria (tendo vivido c. 300 a.C.) sistematizou a matemática e a geometria gregas antigas e do Oriente Próximo. Ele escreveu Os Elementos, o mais utilizado manual de matemática e geometria da história. Textos antigos por vezes o confundem com Euclides de Mégara. Da mesma forma que a economia moderna tem sido chamada de “uma série de notas de rodapé a Adam Smith” – autor de A Riqueza das Nações (1776) –, muito da matemática ocidental não passa de uma série de notas de rodapé a Euclides, seja ampliando suas ideias, seja as contestando.
Vida de Euclides
Praticamente nada é conhecido sobre a vida de Euclides. Por volta de 300 a.C., ele dirigiu uma escola própria na Alexandria, no Egito. Não sabemos nem o ano, nem o local de seu nascimento e morte. Parece que ele escreveu uma dúzia de livros, dos quais a maior parte está perdida.
O filósofo Proclo de Atenas (412-485 d.C.), que viveu sete séculos depois, disse de Euclides “reuniu os Elementos, coletou muitos dos teoremas de Eudoxo, aperfeiçoou muitos dos teoremas de Teeteto e trouxe à demonstração irrefragável muitos dos quais eram de algum modo vagamente provados pelos seus antecessores.” O erudito Estobeu, que viveu no mesmo período que Proclo, coletou manuscritos gregos que corriam o risco de serem perdidos. Ele conta uma história sobre Euclides que se acredita ser verdadeira:
Alguém que havia iniciado [seus estudos] na Geometria perguntou para Euclides: “O que que eu ganho aprendendo estas coisas?” Euclides chamou um escravo e disse: “Dê a ele [algumas] moedas, afinal ele precisa ganhar algo do que aprende”.
(Heath, 1981, loc. 8625)
Geometria antes de Euclides
Em Os Elementos, Euclides reuniu organizou e provou ideias geométricas que já eram utilizadas como técnicas aplicadas. Exceto por Euclides e alguns de seus antecessores gregos, como Tales (624-548 a.C.), Hipócrates (470-410 a.C.), Teeteto (417-369 a.C.) e Eudoxo (408-355 a.C.), quase ninguém tentou compreender por que as ideias eras verdadeiras ou se elas se aplicavam de modo generalizado. Tales se tornou uma celebridade no Egito porque ele conseguiu ver princípios matemáticos que sustentam regras para problemas específicos, depois aplicou os princípios para outros problemas, como determinar a altura das pirâmides.
Os antigos egípcios tinham um conhecimento profundo de geometria, mas apenas como métodos aplicados com base na tentativa-e-erro e experiência. Por exemplo, para calcular a área de um círculo, eles faziam um quadrado cujos lados eram oito nonos o comprimento do diâmetro do círculo. A área do quadrado era próxima o suficiente da área do círculo ao ponto de eles não considerarem nenhuma diferença. Este método implica no valor de pi como 3,16; um pouco abaixo de seu verdadeiro valor de 3,14... mas satisfatório para uma engenharia de base. A maior parte do que sabemos sobre a matemática dos antigos egípcios provem do Papiro de Rhind, descoberto na metade do século 19 e hoje mantido pelo Museu Britânico.
Antigos babilônios também conheciam muito de matemática aplicada, incluindo o teorema de Pitágoras. Escavações arqueológicas em Nínive descobriram tábuas de argila com trios de números que satisfaziam o teorema de Pitágoras, como 3-4-5, 5-12-13, até números bem maiores. Até o ano de 2009, 960 destas tábuas haviam sido decifradas.
Os Elementos
Euclides não criou a maioria das ideias de Os Elementos. Suas contribuições foram quatro ao:
- reunir importante conhecimento de matemática e de geometria em um livro. Os Elementos é um mais um manual que um livro de referência, ou seja, ele não abarca tudo o que era conhecido.
- dar definições, postulados e axiomas. Ela chamava os axiomas de “noções comuns”.
- apresentar geometria como um sistema axiomático. Cada enunciado era ou um axioma, ou um postulado, ou era provado por passos lógicos claros a partir de axiomas e postulados.
- fornecer algumas de suas próprias descobertas, como a primeira prova conhecida que existem infinitos números primos.
Os Elementos têm 13 capítulos (frequentemente chamados de “livros”) divididos em três grandes seções:
Capítulos 1-6: Geometria plana.
Capítulos 7-10: Aritmética e teoria dos números.
Capítulos 11-13: Geometria espacial.
Cada capítulo começa com definições. Capítulo 1 inclui postulados e “noções comuns” (axiomas). Por exemplo:
Definição: “um ponto é aquilo que não tem partes.”
Postulado: “Traçar uma linha reta de um ponto a outro”. (O modo como Euclides afirmava que as linhas retas existem.)
Noção comum: “Coisas iguais a mesma coisa são também iguais entre si.”
As ideias parecem óbvias?, era exatamente este o objetivo. Euclides queria basear sua geometria em ideias tão óbvias que ninguém poderia sequer duvidar delas. A partir de suas definições, postulados e noções comuns, Euclides deduz o restante da geometria. Sua geometria descreve o espaço normal que vemos ao redor de nós. A moderna geometria não euclidiana descreve espaços em distâncias astronômicas, próximos à velocidade da luz, ou deformados pelas gravidade.
Outros textos de Euclides
Cerca de metade das obras de Euclides está perdida. Temos notícias delas por meio de outros escritores antigos que as mencionaram. Os trabalhos perdidos incluem livros sobre as seções cônicas, falácias lógicas e “porismos”. Não se sabe exatamente o que são “porismos”. Os trabalhos de Euclides que ainda existem são Os Elementos, os Data, Divisão de Figuras, Os Fenômenos e Ótica. Neste livro sobre ótica, Euclides defendeu a mesma teoria sobre a visão que o filósofo cristão Santo Agostinho.
Influência de Euclides
Desde os tempos antigos até fim do século 19, as pessoas consideravam Os Elementos com um exemplo perfeito do correto raciocínio. Milhares de edições foram publicadas, fazendo deste um dos mais populares livros depois da Bíblia. Baruch de Espinoza, filósofo do século 17, usou Os Elementos como modelo para seu livro Ética, adotando o mesmo formato de definições, postulados, axiomas e provas. No século 20, o economista austríaco Ludwig von Misses adotou o método axiomático de Euclides para escrever sobre economia no seu Ação Humana.
